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HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonia escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas;1 sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

== Historia de la trigonometria La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomoHiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía elAlmagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Elteorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusadada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

GLOSARIO TRIGONOMETRÍA

Conceptos básicos

 Geometría: es la ciencia que estudia las propiedades de las formas o

figuras.

 Medir: significa encontrar la relación que existe entre dos magnitudes

donde una de ellas se considera como unidad de medida y se ve

cuantas veces cabe esta en otra.

 Razonamiento: es la capacidad que posee el hombre de asociar

correctamente ideas, observaciones o hechos para obtener conclusiones

correctas.

 Hipótesis: es lo que sirve de punto de partida en razonamiento y se

acepta, sin discusión como cierto. Conclusión: es la tesis que se establece una vez que a sido

demostrada por el razonamiento.

 Preposición lógica: en matemáticas se refiere como preposición lógica

a una oración enunciativa; es decir, una oración que afirma o niega algo

de alguna cosa y en consecuencia puede ser clasificada como falsa o

verdadera.

 Axioma: es una preposición evidente por si misma que no requiere

demostración.

 Postulado: es una preposición cuya verdad se admite sin demostración,

aunque no tiene la evidencia de un axioma.

 Definición: es una preposición que implica una convención o

descripción.

 Teorema: es una preposición que requiere de demostración.

 Corolario: es una preposición que es consecuencia de otra y cuya

demostración requiere de un razonamiento.

 Demostración geométrica: consiste en comprobar, mediante el

razonamiento, ciertas preposiciones matemáticas partiendo de

preposiciones evidentes por si mismas que no requieren demostración

(axioma). O de otras preposiciones ya demostradas.

 Figura: es la ilustración grafica de la preposición que se desea

demostrar; una demostración no depende de la precisión y exactitud del

dibujo.

 Tesis: es lo que queremos demostrar y que sostiene como cierto la

persona que hace la demostración.

 Cuerpo geométrico: es toda porción limitada del espacio este o no

ocupada por materia; por ello, aunque este vacío se le considera como

cuerpo geométrico.

 Volumen: Espacio ocupado por un cuerpo.

 Largo: longitud.

Ancho: anchura.

 Altura: profundidad, grueso o espesor.

 Superficie: las caras o límites de los sólidos se les llama superficies, las

cuales determinan su forma.

 Perímetro: Contorno de una figura.

 Punto: marca el cruce de varias líneas y no tienen dimensiones

únicamente indica posición se representa por un pequeño trazo en forma

de cruz citándolo con una letra mayúscula.

 Línea recta: no tiene límites, es decir, se desconoce su punto inicial y

final; para nombrarla se utiliza una letra minúscula o dos mayúsculas.

 Distancia: Longitud del segmento de recta comprendido entre dos

puntos del espacio.

 Longitud del segmento: Parte de una recta comprendida entre dos

puntos.

 Origen: es el conjunto formado por el y todos los que le siguen se llama

rayo o semirrecta.

 Rayo o semirrecta: Cada una de las dos porciones en que queda

dividida una recta por cualquiera de sus puntos.

 Tres puntos no coloniales: determinan un plano y solo uno. Su

extensión es ilimitada y para nombrarlo se utiliza la palabra plano. Plano: Cada una de las dos porciones en que queda dividida una recta

por cualquiera de sus puntos.

Ángulos

 Ángulo: Es la vertura que forma en un plano dos semirrectas unidad en

un punto llamado vértice cuando uno de ellas tiende a girar sobre uno de

sus extremos.

 Minutos: El grado se divide en 60 partes llamadas minutos.

 Segundos: Cada minuto se divide en 60 partes conocidas como

segundos.

 Radio: Segmento lineal que une el centro del círculo con la

circunferencia.

 Radian: Es el ángulo centrar subtendido por un arco igual a la longitud

del radio del circulo.

 Equivalencia: Igualdad de áreas en figuras planas de distintas formas, o

de áreas o volúmenes en sólidos diferentes.

 Ángulos de mayor dimensión: ángulos positivos de 0º a 360º se

consideran ángulos de mayor dimensión.

 Ángulos de Elevación: es el que se forma por la horizontal que pasa

por el ojo del observador y el rayo determinado por la vista dirigida hacia

un punto que esta por encima del observador.

 Angulo depresión: es el que se forma por la horizontal que pasa por el

ojo del observador y el rayo determinado por la vista dirigida hacia un

punto que esta por debajo del observador.

 Angulo Recto: Su magnitud es de 90º y se denota por un pequeño

rectángulo en el vértice.

 Angulo Agudo: su magnitud es menor de 90º.

 Angulo Obtuso: su magnitud es mayor que 90º sin llegar a 180º

Angulo Colineal o Llano: Su magnitud es igual a 180º.

Angulo Entrante: Su magnitud es mayor que 180º sin llegar a 360º.

 Angulo Perigonio: Su magnitud es igual a 360º.

 Ángulos Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tiene un

lado común y están en un mismo plano.

 Ángulos complementarios: Son dos ángulos que suman 90º.

 Ángulos suplementarios: Son dos ángulos que suman 180º.

 Ángulos Conjugados: Son dos ángulos que suman 360º.

 Angulo Correspondientes: Son dos ángulos, uno interno y otro

externo, que están situados de un mismo lado de la transversal y en

distancia paralela.

Ángulos alternos internos: Son dos ángulos internos situados a uno y

otro lado de la transversal y en distinta paralela.

 Ángulos Alternos externos: Son ángulos externos situados a uno y a

otro lado de la transversal distinta paralela.

 Ángulos Colaterales: Son dos ángulos internos o dos ángulos externos

situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela.

 Ángulos Colaterales Internos: Cuando los dos ángulos son internos se

les llama colaterales internos.

 Ángulos Colaterales Externos: Cuando los dos ángulos son externos

se les llama colaterales externos.

 Líneas Perpendiculares: Son dos líneas que se cortan en Angulo recto.

Para designar dos líneas perpendiculares.

 Perpendicular Mediatriz de un Segmento: Es la perpendicular del

segmento que pasa por el punto medio del segmento.

 Distancia de un punto a una recta: Es la perpendicular de un punto a

una recta.Triángulos (Polígonos)

 Polígono: Es toda una superficie limitada por segmentos de líneas.

 Triangulo: Es un polígono limitado por tres lados, que forman entre si

tres ángulos.

 Triangulo equilátero: Los tres lados del triangulo tienen la misma

longitud.

 Triangulo Isósceles: Dos de sus lados son iguales y el otro desigual.

 Triangulo Escaleno: Los tres lados del triangulo son de diferente

longitud.

 Triangulo Rectángulo: Uno de los ángulos del triangulo es recto.

 Triangulo Oblicuángulo: El triangulo no tiene ningún lado recto. Los

triángulos pueden ser acutángulo y obtusángulos

 Altura del triangulo: la distancia que existe desde el vértice de un

triangulo hasta la recta del lado opuesto, formando un ángulo de 90º, se

llama altura del triangulo.

Ortocentro: es el punto donde se intersecan las alturas.

 Mediana: es el segmento de recta que une a una vértice con el punto

medio del lado opuesto.

 Baricentro: es el punto donde se intersecan las medianas, también se

le conoce como gravímetro o centroide que es el centro de gravedad del

triangulo y siempre es un punto interior del triangulo.

 Mediatriz: es la perpendicular a uno de los lados que pasa por el punto

medio del mismo.

 Circuncentro: las mediatrices de un triangulo se intersecan en un punto

que se llama circuncentro, que es el centro de la circunferencia

circunscrita.

 Criterio de igualdad de triángulos: cada conjunto de elementos que

deben ser iguales dan origen, en cada caso, a un criterio.

 Figuras semejantes: son aquellas que tiene la misma forma.

Triángulos semejantes: tienen sus ángulos respectivamente iguales y

sus lados perpendiculares.

 Casos de semejanza de triángulos: deben cumplirse las condiciones

para que dos triángulos sean semejantes, ya que están relacionadas de

tal manera que forzosamente se cumplan unas con las otras esto da

origen a los casos de semejanza de triángulos.

Cuadriláteros

 Cuadrilátero: es todo polígono de cuatro lados.

 Paralelogramo: es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son

paralelos.

 Trapecio: es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos.

 Base: son los lados paralelos.

 Altura: es la perpendicular que se traza desde menor hasta la base

mayor que se llama altura.

 Ángulos contiguos: cada uno de los lados no paralelos de un

trapecio son suplementarios.

 Ángulos interiores de un polígono: la suma de los ángulos

interiores de un polígono es igual al producto de dos ángulos rectos

por el numero de lados del polígono menos 2

Polígono regular: un polígono regular es equilátero y un equiángulo

al mismo tiempo.

 El centro de un polígono regular: es el centro de la circunferencia

circunscrita y también de la circunferencia inscrita.

 Radio: es La recta que une el centro con cualquiera de los vértices y

es igual al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

 Apotema: la apotema es la perpendicular trazada desde el centro a

cualquiera de los de los lados y es igual al radio de la circunferencia

inscrita en el polígono.

 Angulo central: es el que se forma por los radios correspondientes a

dos vértices consecutivos.

Circunferencia y círculo Circunferencia: La circunferencia es un contorno

continuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma

distancia de un punto central, llamado centro del círculo.

 Centro: Punto interior del círculo, del que equidistan todos

los de la circunferencia.

 Circulo: es la superficie plana limitada por la

circunferencia.

 Radio: recta que une el centro con un punto cualquiera

de la circunferencia.

 Diámetro: recta que pasa por el centro y une dos puntos

de la circunferencia.

 Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de la

circunferencia.

 Arco: es una parte de la circunferencia.

 Tangente: recta que se interseca con la circunferencia en

un punto.

 Secante: recta que interseca a la circunferencia en dos

puntos.

 Angulo central: tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y sus lados son radios.

 Angulo inscrito: su vértice coincide con cualquier punto

de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de

la circunferencia.

 Angulo excéntrico: también llamado ángulo interior. Es

aquel que esta dentro de la circunferencia pero su vértice

no coincide con el centro.

 Angulo exterior: es aquel cuyo vértice se encuentra en

la parte exterior y sus lados pueden ser secantes o

tangentes, o uno secante y el otro tangente a la

circunferencia.

 Angulo semi-inscrito: esta determinado por una cuerda

de una circunferencia y la tangente que pasa por uno de

los extremos de la cuerda.Perímetro, áreas y volúmenes

 Superficie: las caras o límites de los sólidos se llama

superficies.

Perímetro: Contorno de una figura.

 Formula: es la expresión de una ley o un principio

general a través de símbolos o letras.

 Variable dependiente: el sujeto de una formula es la

variable dependiente cuyo valor se obtiene por medio

de la formula.

 Área: es la medida de la superficie de una figura

geométrica.

 Unidades de superficie: el área se expresa en unidades

de superficie.

 Unidades de longitud: la base y altura de una figura

geométrica se expresan en unidades de longitud.

 Apotema: la altura de un triangula es la apotema.

 Volumen: es el espacio que ocupa un sólido.

 Generatriz: Dicho de una línea o de una figura: Que por su

movimiento engendra, respectivamente, una figura o un

sólido geométrico.

 Superficie cilíndrica: es la superficie lateral de un cilindro.

 Superficie cónica: superficie lateral de un cono.

Unidad 7

Funciones Trigonométricas

 Razón: De un numero a con otro numero b (distinto de cero) es el

cociente que resulta de dividir a entre b.

 Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo

Rectángulo

 Seno: El del arco que sirve de medida al ángulo.

 Coseno: Seno del complemento de un ángulo o de un arco.

 Tangente: Dicho de dos o más líneas o superficies: Que se tocan o

tienen puntos comunes sin cortarse.

 Cotangente: Inversa de la tangente de un ángulo o de un arco.

 Cosecante: Inversa del seno de un ángulo o de un arco.

 Fracciones Reciprocas: Dos fracciones son reciprocas cuando una

resulta de la inversión de los términos de la otra.

 Valor Natural: Son las que únicamente incluyen los valores de seno,

coseno, tangente y cotangente.

 Teodolito: Instrumento de precisión que se compone de un círculo

horizontal y un semicírculo vertical, ambos graduados y provistos de

anteojos, para medir ángulos en sus planos respectivos.

 Sextante: Se usa en la navegación debida a que el movimiento de la

nave cambiaria continuamente la posición vertical y horizontal, y

también se pueda nivelar el anteojo para que la visual que pasa por

el mismo sea horizontal.

 Ángulos Verticales: Los Ángulos Verticales son los ángulos

opuestos uno al otro cuando dos líneas se cruzan.

 Ángulos Horizontales: Los ángulos horizontales son una de las

cinco mediciones que se realizan en topografía plana, dentro de ellos

podemos encontrar: Ángulos internos, Ángulos externos, Ángulos

derechos, Ángulos izquierdos. Ángulos de deflexión.

 Ángulos Coterminales: Los ángulos que están en la posición

normal y que coinciden sus lados finales se llaman ángulos

coterminales.

 Ángulos de Cuadrante: Los ángulos de 0°, 90°, 180° y 270°, así

como todos los coterminales con ellos, se llaman ángulos de

cuadrante.

Circulo Trigonométrico Circulo Trigonométrico: El círculo trigonométrico tiene la ventaja de

ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de

trigonometría.

 Angulo Relacionado: Si un ángulo dado, que no sea múltiplo de 90º se

encuentra en su posición normal, el ángulo positivo formado por su lado

final y el eje XX’ se llama ángulo relacionado.

Graficas de funciones trigonométricas directas e inversas

 Coordenadas de un punto: Son las distancias expresadas en

milímetros, que al medirse sobre los ejes de coordenadas, a partir del

origen, permiten definir con exactitud la ubicación de un punto en el

espacio.

 Función Periódica: una función es periódica si los valores de la variable

dependiente se repiten conforme se añade a la variable independiente

un determinado período.

 Función Inversa: Cuando observamos las gráficas de dos funciones

simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, vemos

que corresponden a dos funciones inversas.

 Variable Independiente: En investigación, se denomina variable

independiente a aquélla que es manipulada por el investigador en un

experimento con el objeto de estudiar cómo incide sobre la expresión de

la variable dependiente.

 Variable Dependiente: Es aquella cuyos valores dependen de los que

tomen otra variable.

Identidades Trigonométricas

 Identidad Trigonométrica: Es una igualdad algebraica entre las

razones de un mismo ángulo que se verifica para cualquier valor que se

atribuya a dicho ángulo.

Ecuaciones trigonométricas Ecuación trigonométrica: Es una igualdad entre funciones

trigonométricas de un mismo ángulo que solo se satisface para un

determinado valor, o valores, del ángulo.

 Identidad trigonométrica: También es una igualdad algebraica entre

funciones de un mismo ángulo, se verifica para cualquier valor que se

atribuya a dicho ángulo.

Resolución de triángulos oblicuángulos

 Formulas de Mollweide: Constituyen el mejor procedimiento para

comprobar la solución de los oblicuángulos porque hace intervenir a los

seis elementos del triangulo y además se adapta fácilmente el calculo

logarítmico.

 Formula de Herón de Alejandría: Esta fórmula se usa para calcular el

área de cualquier triangulo en función de sus lados a, b y c.

Logaritmos

 Logaritmo de un número: Es el exponente al que hay que elevar la

base para obtener el número propuesto.

 Logaritmos vulgares: Cuando se emplea este tipo de logaritmos, se

acostumbra a omitir el número 10 de la base en la escritura abreviada

del logaritmo de un número. Así, en la expresión log N=L se

sobreentiende que la base es 10.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

 Logaritmos naturales: Neperianos o hiperbólicos fueron inventados por

Neper. Los logaritmos en lugar de la base 10 emplean una base llamada

``e”, cuyo valor aproximado es de 2,71827…

 Ecuación Exponenciales: Son todas aquellas ecuaciones que

contienen a la incógnita como exponente. Estas operaciones se

resuelven aplicando logaritmos a los dos miembros de la ecuación y

despejando la incógnita.

 PERSONAJES QUE APORTARON A LA TRIGONOMÉTRIA Y SUS BIOGRAFÍAS

MENELAO DE ALEJANDRÍA

(c. s. I) Matemático griego. Cultivó la astronomía y la geometría en Alejandría y en Roma. Autor del tratadoSphaerica, en el que realizó un sistemático estudio de las propiedades de los triángulos esféricos (teoremas de Menelao), que constituyen las bases de la trigonometría esférica.

EDMUND GUNTER

(Hertfordshire, 1581-Londres, 1626) Matemático inglés. Sus principales trabajos versaron sobre trigonometría y cálculo logarítmico. Introdujo los términos coseno y cotangente, desarrolló la aritmética logarítmica y, en astronomía, descubrió la variación anual de la declinación magnética.

RHETICUS

(Georg Joachim von Lauchen, Feldkirch, 1514-Kosice, 1576) Matemático y astrónomo alemán. Relacionó por primera vez las funciones trigonométricas con los ángulos (en vez de con los arcos) y elaboró una de las mejores tablas trigonométricas de su época. Nombrado en 1536 profesor de astronomía en la Universidad de Wittemberg, fue uno de los primeros seguidores de la hipótesis copernicana y discípulo de N. Copérnico, a quien convenció para que publicase su famosa obra De revolutionibus orbium caelestium(1543).

LEONHARD EULER

Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre  de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.

THOMAS FINCKE
Thomas Fincke (6 enero 1561- 24 abril 1656) fue un danés, matemático y físico, y un profesor de la Universidad de Copenhague por más de 60 años.

Fincke nació en Flensburg, Shleswig y murió en Copenhague. Su logro duradero se encuentra en su libro Geometría rotundi (1583), en la que introdujo los nombres modernos de las funciones trigonométricas tangente y secante.